Question

如图，直线AB与半径为5的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为

5

3

．

Answer 1

分析：连接OC，OE，由AB为圆的切线，根据切线的性质得到OC与AB垂直，又EF与AB平行，可得出OM垂直于EF，根据垂径定理得到M为EF的中点，可得出EF=2EM，同时由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，根据∠EDC的度数求CHU∠EOM的为60°，在直角三角形OEM中，由半径OE的长，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出EM的长，进而确定出EF的长．

解答：解：连接OC，OE，如图所示：

∵AB为圆O的切线，
∴OC⊥AB，
∴∠OCB=90°，
又∵EF∥AB，
∴∠OMF=90°，
∴OM⊥EF，
∴EM=FM=

1

2

EF，
又∵∠EDC=30°，
∴∠EOM=60°，
在Rt△OEM中，OE=5，∠EOM=60°，
∴sin60°=

EM

OE

，即EM=OEsin60°=

5 3

2

，
则EF=2EM=5

3

．
故答案为：5

3

点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，以及特殊角的三角函数值，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，根据切线的性质得垂直，利用垂径定理及勾股定理来解决问题．