Question

4、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）四边形ADEF是

平行四边形

；
（2）当△ABC满足条件

AB=AC

时，四边形ADEF为菱形；
（3）当△ABC满足条件

AB=AC=BC

时，四边形ADEF不存在．

Answer 1

分析：（1）先证明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，则DE=AC=AF，FE=AB=AD，则四边形ADEF是个平行四边形；
（2）当AB=AC时，四边形ADEF为菱形；
（3）当AB=AC=BC时，四边形ADEF不存在．

解答：解：（1）四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中，
∵BC=BE，BA=BD，∠DBE=∠ABC（与∠ABE之和都等于60°），
∴△ABC≌△DBE，
∴DE=AC，
在△ABC和△FEC中，
∵BC=EC，CA=CF，∠ACB=∠FCE（都为60°角与=∠ACE之和），
∴△ABC≌△FEC，
∴FE=AB，
∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，
∴四边形ADEF是个平行四边形；

（2）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；

（3）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

点评：本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质．