Question

如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．
（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：
①BC的长为

 

；②DE的长为

 

；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？
（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点C₁和B₁，连接B₁C₁交OA于P．B₁D平分∠OB₁C₁，交OA于点D，过点D作DE⊥B₁C₁，垂足为E，请猜想线段OB、B₁C₁、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当B₁E=6，C₁E=4时，求直线B₁D的解析式．

Answer 1

分析：（1）①根据正方形的性质即可求得对角线BC的长；②BD平分∠OBC，经计算可知△ABD为等腰三角形，所以可知道AD长度，即可求得DE长度；③经计算可知线段OB、BC、DE的长的关系为OB=

1

2

BC+DE；
（2）猜想线段OB、B₁C₁、DE的长的关系为OB=

1

2

B1C1+DE，利用相似三角形即可证明；
（3）根据（2）中条件求出点D和点的B₁坐标，代入即可求出直线B₁D的解析式．

解答：解：（1）①2

2

；（1分）
②2-

2

；（3分）
③线段OB、BC、DE的长的关系为OB=

1

2

BC+DE（5分）
注：只要符合三条线段长度关系的式子都对．

（2）猜想线段OB、B₁C₁、DE的长的关系为OB=

1

2

B1C1+DE．（6分）
证明如下：过点D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B₁AC₁=90°，
∴∠B₁AB=∠C₁AC．
又∵AB=AC，∠B₁BA=∠C₁CA=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA（ASA），（7分）
∴B₁A=C₁A，
∴AB₁=

2

2

B₁C₁．
∵∠B₁DA=∠AOB+∠OB₁D=45°+∠OB₁D，
∠DB₁A=∠DB₁C₁+∠AB₁C₁=45°+∠DB₁C₁，
∵∠OB₁D=∠DB₁C₁，
∴∠B₁DA=∠DB₁A，
∴AD=AB₁=

2

2

B₁C₁（8分）
∴OD=

2

DF=

2

DE且AO=

2

OB，
∴AD+OD=

2

OB，
∴

2

2

B₁C₁+

2

DE=

2

OB，
∴OB=

1

2

B₁C₁+DE．

（3）∵B₁E=6，C₁E=4，
∴B₁C₁=10．
由（2）得OB=5+DE=5+DF，（10分）
∴BF=5．
∵B₁F=B₁E=6，
∴B₁B=1，AB₁=5

2

，
∴AB=OB=

(5 2 )2-12

=7，
∴DE=2．
∴D的坐标为（2，2），B₁的坐标为（0，8），（11分）
∴直线B₁D的解析式y=-3x+8．（12分）

点评：本题主要考查对于一次函数的综合应用以及相似三角形的掌握．