Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=BC，CD⊥AB，垂足为D，E是AC上一点，F为BC上一点，且AE=CF，连结DE，DF，若EF=10，求△DFE的面积．

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质可得∠EAD=∠FCD=45°，CD=AD，然后利用“边角边”证明△ADE和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，全等三角形对应角相等可得∠EDA=∠FDC，然后求出∠EDF=90°，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的

2

2

倍求出DE=DF=5

2

，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：∵△ABC中，∠BAC=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠EAD=∠FCD=45°，CD=AD，
在△ADE和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠FCD=45° CD=AD

，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠EDA=∠FDC，
∴∠EDF=∠ECD+∠FDC=∠ECD+∠EDA=∠ADC=90°，
∴△EFD是等腰直角三角形，
∵EF=10，
∴DE=DF=10×

2

2

=5

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×5

2

×5

2

=25．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形的性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．