Question

在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=

k

x

的图象与直线y=

3

4

x+3交于点C（4，n）．
（1）求n的值及反比例函数的解析式；
（2）设直线y=

3

4

x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，过点C作CD⊥x轴于D、若点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度分别沿线段AD、CA向点D、A运动，设AP=m．问m为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？

Answer 1

分析：（1）把x=4代入y=

3

4

x+3，即可求出n的值；然后把C点坐标代入y=

k

x

，即可求出反比例函数的解析式；
（2）由于点A与点A对应，如果以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，那么分两种情况：①点P与点O对应，即△APQ∽△AOB；②点P与点B对应，即△APQ∽△ABO．针对每一种情况，都可以运用相似三角形的对应边成比例，求出m的值．

解答：解：（1）因为点C（4，n）在直线y=

3

4

x+3上，
所以n=6（1分）
由点C（4，n）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
可求得k=24．
∴反比例函数的解析式为y=

24

x

．（3分）

（2）∵直线y=

3

4

x+3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，3），
又∵C（4，6），CD⊥x轴于D，
∴AD=8，CD=6，AC=10，AO=4，OB=3，AB=5，
当△APQ∽△AOB时，
即

AP

AO

=

AQ

AB

，
∴

m

4

=

10-m

5

，m=

40

9

（5分）
当△AQP∽△AOB时，
即

AP

AB

=

AQ

AO

，
∴

m

5

=

10-m

4

，m=

50

9

（7分）
综上所述，当m=

40

9

或m=

50

9

时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．

点评：本题主要考查反比例函数解析式的确定、相似三角形的性质等知识．要注意（2）中两三角形相似时，应分情况讨论，注意不要漏解．