Question

在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．
（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处如图①．设DE与BC相交于点F，求BF的长；
（2）将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕GH的长．

Answer 1

解：（1）由折叠得，∠ADB=∠EDB，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠EBD=DBC，
∴BF=DF，
设BF=x，则CF=8-x，
在Rt△CDF中，CD²+CF²=DF²，
即6²+（8-x）²=x²，
解得x=；

（2）由折叠得，DH=BH，设BH=DH=x，
则CH=8-x，
在Rt△CDH中，CD²+CH²=DH²，
即6²+（8-x）²=x²，
解得x=，
连接BD、BG，
由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DH=DG，
∴BH=DH=DG=BG，
∴四边形BHDG是菱形，
在Rt△BCD中，BD===10，
S_菱形BHDG=BD•GH=BH•CD，
即×10•GH=×6，
解得GH=．
分析：（1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠EBD=DBC，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得BG=DG，∠BHG=∠DHG，根据两直线平行，内错角相等求出∠BHG=∠DGH，然后求出∠DHG=∠DGH，根据等角对等边可得DH=DG，从而求出四边形BHDG是菱形，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据菱形的面积列出方程求解即可．
点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．