Question

如图，P是抛物线C：y=2x²-8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为

 

．

Answer 1

分析：依题意，得A（k，k），B（k，2k²-8k+8），则AB=|k-（2k²-8k+8）|=|2k²-9k+8|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB=90°，PA=AB=|k-2|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，PB=AB=|k-2|；分别列方程求k的值．

解答：解：∵直线x=k分别与直线y=x、抛物线y=2x²-8x+8交于点A、B两点，
∴A（k，k），B（k，2k²-8k+8），AB=|k-（2k²-8k+8）|=|2k²-9k+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|k-2|，
即|2k²-9k+8|=|k-2|，解得k=

5± 5

2

或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|k-2|，结果同上．
故答案为：

5± 5

2

或1或3．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据函数解析式表示A、B两点坐标，再表示线段AB，根据题意，列方程求解．