Question

如图，AB为⊙O的直径，直线DT切⊙O于T，AD⊥DT于D，交⊙O于点C，AC=2，DT=

3

，求∠ABT的度数．

Answer 1

分析：连接OT、BC，相交于点E，由直线DT与圆相切，利用切线的性质得到∠OTD为直角，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由∠ADT为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CDTE为矩形，根据矩形的性质得到∠CET为直角，且CE=DT，再利用垂径定理得到BC=2BE，再直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出tan∠ABC的值，利用特殊角的三角函数值求出∠ABC的度数，确定出∠BOT的度数为60度，由OB=OT，得到三角形OBT为等边三角形，即可确定出∠ABT的度数．

解答：解：连接OT、BC，相交于点E，
∵直线DT切⊙O于T，
∴∠OTD=90°，
∵AD⊥DT于D，
∴∠ADT=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°，
∴四边形CDTE是矩形，
∴∠CET=90°，CE=DT=

3

，
∴BC=2CE=2

3

，
∵tan∠ABC=

AC

BC

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∴∠BOT=60°，
∵OB=OT，
∴△OBT为等边三角形，
∴∠ABT=60°．

点评：此题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．