Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AE＝DF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H．

(1)求证：∠ADG＝∠DCF；

(2)联结HO，试证明HO平分∠CHG．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）根据题意可得△DFC≌△AFB，△AGB≌△ADG，可得∠ADG=∠DCF
（2）由题意可证CF⊥DG，由∠CHD=∠COD=90°，则D，F，O，C四点共圆，可得∠CDO=∠CHO=45°，可证OH平分∠CHG.

(1)∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD＝CD＝BC，∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠CAB＝45°，AC⊥BD

∵DC＝AB，DF＝AE，∠CDA＝∠DAB＝90°

∴△DFC≌△AEB

∴∠ABE＝∠DCF

∵AG＝AG，AB＝AD，∠DAC＝∠CAB＝45°

∴△ADG≌△ABG

∴∠ADG＝∠ABE

∴∠DCF＝∠ADG

(2)∵∠DCF＝∠ADG，且∠ADG+∠CDG＝90°

∴∠DCF+∠CDG＝90°

∴∠CHD＝∠CHG＝90°

∵∠CHD＝∠COD

∴C，D，H，O四点共圆

∴∠CHO＝∠CDO＝45°

∴∠GHO＝∠CHO＝45°

∴HO平分∠CHG