Question

如图．△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转(0°＜＜90°)时，如图，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF；

②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)BD＝CF成立． 　　理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， 　　∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°， 　　∵∠BAD＝， 　　∠CAF＝， 　　∴∠BAD＝∠CAF， 　　∴△BAD≌△CAF． 　　∴BD＝CF．(3分) 　　(2)①证明：设BG交AC于点M． 　　∵△BAD≌△CAF(已证)，∴∠ABM＝∠GCM． 　　∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG． 　　∴∠BGC＝∠BAC＝90°．∴BD⊥CF．(6分) 　　②过点F作FN⊥AC于点N． 　　∵在正方形ADEF中，AD＝， 　　∴AN＝FN＝． 　　∵在等腰直角△ABC中，AB＝4， 　　∴CN＝AC－AN＝3，BC＝． 　　∴在Rt△FCN中，． 　　∴在Rt△ABM中，． 　　∴AM＝． 　　∴CM＝AC－AM＝4－＝，．(9分) 　　∵△BMA∽△CMG，∴． 　　∴． 　　∴CG＝．(11分) 　　∴在Rt△BGC中，．(12分)