Question

如图：抛物线y=ax²-4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．

Answer 1

解：（1）对称轴是x=-=2，…
∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，
∴点B（3，0）；…

（2）点A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，…
设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC=，
∵，
∴BD=，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…
∴BP²=BD•BC，
即，
∴，
∴x₁=，x₂=-，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0，），…
∴y=ax²-4ax-，
∵过点（1，0），
∴a-4a-=0，
解得：a=-．
∴解析式是：y=-x²+x-；…

（3）当x=2时，y=，
顶点坐标G是（2，），…
设CG的解析式是：y=kx+b，
∵过点（0，）（2，），
∴，
∴y=x-，…
设CG与x轴的交点为H，
令y=0，则x-=0，
得x=，
即H（，0），…
∴BH=3-=，
∴S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC===…
分析：（1）由抛物线y=ax²-4ax+m的对称轴公式x=-，即可求得其对称轴，又由点A、B关于对称轴对称，即可求得点B的坐标；
（2）由点A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边形ABPC是平行四边形，然后设点C（0，x）（x＜0），证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得抛物线顶点G坐标，然后设CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系数法即可求得CG的解析式，则可求得H的坐标，又由S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC，即可求得△BCG的面积．
点评：此题考查了二次函数对称轴的求解方法，二次函数的对称性，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求解方法以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．