Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向C移动，速度为每秒2个单位，动点Q从点C出发沿CD向D出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何？请说明理由．

Answer 1

解：要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ
∴只要或者
∵AB=6，BC=8
∴只要
设时间为t
则PC=8-2t，CQ=t
∴t=或者t=；

①当t=时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC
理由：△ABC∽△PCQ
∴∠BAC=∠CPQ
∵∠BAC+∠ECP=90°，
∴∠EPC+∠ECP=90°
即PQ⊥AC；

②当t=，△ABC∽△QCP，AC平分PQ
理由：△ABC∽△QCP
∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC
∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC
∴PE=EQ=CE
即AC平分PQ．
分析：（1）根据三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
（2）有两种情况，△ABC∽△PCQ或者△ABC∽△QCP，根据线段的比例关系求解．
点评：（1）三角形相似的判定定理为：①两角对应相等两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
③三边对应成比例，两个三角形相似．
（2）注意分情况讨论，不要漏掉任何一种．