Question

如图1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD边上的一点，CE=5，M是BC边上的中点，动点P从点A 出发，沿AB边以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结PM。设动点P的运动时间是t秒。

（1）求线段AE的长；

（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；

（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．

Answer 1

解：（1）∵ABCD是矩形，∴∠D=90°，∴AE²=AD²+DE²，∵AD=12，DE=16，∴AE=20；（3分）

（2）∵∠D=∠B=90°，∴△ADE与△PBM相似时，有两种可能；

当∠DAE=∠PMB时，有=，即=，解得：t=13；（2分）

当∠DAE=∠MPB时，有=，即=，解得t=；（2分）

（3）①由题意得：S_△EHP=S_△EMP，

∴×t×（20﹣t）=×12×（5+21﹣t）﹣×6×（21﹣t）﹣×6×5，

解得：t=，

∵0＜t＜21，

∴t=；（3分）

②根据题意得：≤t≤20．（2分）