Question

（2011•潮阳区模拟）如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，
（1）若取AB的中点M，可证AE=EF，请写出证明过程．
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

Answer 1

分析：（1）连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．
（2）在BA的延长线上取一点P，使AP=CE，连接PE，根据已知利用ASA判定△APE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，
∵取AB的中点M，点E是边BC的中点，
∴AM=EC=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠FCG=45°，
∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∠AEB+∠MAE=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
即

∠MAE=∠CEF AM=CE ∠AME=∠ECF

∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF，

（2）AE=EF仍然成立，理由如下：
在BA延长线上截取AP=CE，连接PE，则BP=BE，
∵∠B=90°，BP=BE，
∴∠P=45°，
又∠FCE=45°，
∴∠P=∠FCE，
∵∠PAE=90°+∠DAE，∠CEF=90°+∠BEA，
∵AD∥CB，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠PAE=∠CEF，
∴△APE≌△ECF，
∴AE=EF．

点评：此题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况，正确作出辅助线在BA延长线上截取AP=CE，构造三角形全等是解题关键．