Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；

（3）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线 BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E到直线AB的距离的最大值为；（3）点P的坐标为：（0,1），（，0），（0,），（7，0）．

【解析】

（1）由一次函数求出点A，B的坐标，再将A，C坐标代入中即可解答；

（2）通过证明△ENM∽△AOB，得到EN=，设E（m，），M（m，），表达出EM，再由二次函数的性质求出最大值；
（3）分当点P在∠BDF平分线上、外角平分线上两种情况，分别求解即可．

解：（1）在中，当x=0时，y=；当y=0时，x=3，

即A(3，0)，B(0，)，

将A(3，0)，C(－1，0)代入得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：．

（2）过点E作EM⊥x轴交AB于M，过E作EN⊥AB于N，

点E到AB的距离为EN，

∵EM∥y轴，

∴∠EMN=∠OBA，

又∵∠ENM=∠AOB，

∴△ENM∽△AOB，

∴,

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

由勾股定理得：AB=，

∴，

即EN=，

设E（m，），M（m，），

则EM=－（）=，

∴EN=

=

=，

∴当m=时，E到直线AB的距离的最大值为．

（3）∵点P到直线BD，DF的距离相等，

∴点P在∠BDF或∠BDF邻补角的平分线上，如图所示，

由，则 D点坐标为（1,3），

∵B（0，），

∴BD=，

∵DP平分∠BDF，

∴∠BDP=∠PDF，

∵DF∥y轴，

∴∠BPD=∠PDF，

∴∠BPD=∠BDP,

∴BD=BP，

∴P(0,1),

设直线PD的解析式为：y=kx+n，

∴n=1，k+n=3，

即直线PD的解析式为：y=2x+1，

当y=0时，x=，

∴当P在∠BDF的角平分线上时，坐标为（0,1）或（，0）；

同理可得：当P在∠BDF邻补角的平分线上时，坐标为：（0,）或（7，0），

综上所述，点P的坐标为：（0,1），（，0），（0,），（7，0）．