Question

已知，如图：四边形ABCD中，∠C＞90°，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，AB=

3

，tanA是关于x的方程x2-2

3

x+

1

4

(m2-2m+13)=0的一个实数根．
（1）求tanA；
（2）若CD=m，求BC的值．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式可得m的值，进而解方程可得tanA的值；
（2）由（1）易得∠A的度数，延长四边形的两边，构造一个直角三角形，利用特殊角的三角函数计算即可．

解答：解：（1）∵关于x的方程x2-2

3

x+

1

4

(m2-2m+13)=0，
有实数根，∴△=(2

3

)2-4×

1

4

(m2-2m+13)≥0（2分）
整理得：-（m-1）²≥0（3分）
∴m=1（4分）
∴x2-2

3

x+3=0，
(x-

3

)2=0，
x1=x2=

3

∴tanA=

3

（5分）

（2）延长BC交AD的延长线于M，

由（1）得：tanA=

3

，m=1
∵CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，∠C＞90°，
∴∠A=60°（6分）
又CD=m=1
∴在RT△CDM中，∠M=30°
∴CM=2，DM=

3

（7分）
在RT△ABM中，∠M=30°
∵AB=

3

，
∴AM=2

3

∴AD=

3

，BM=3（9分）
∴BC=3-CM=3-2=1（10分）．

点评：综合考查了解一元二次方程及三角函数的知识；把四边形转化为三角形解决问题是常用的解题方法．