Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．

1.求证：AD⊥DC

2.若，， 求的值以及AB的长．

 

Answer 1

 

1.连接OC

∵OC=OA

∴∠CAO=∠OCA             ---------------------------------1分

又∵CD与圆O相切

∴∠OCD=90°

即∠OCA+∠DCA=90°

∴∠CAO+∠DCA=90°

又∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠CAO

∴∠DAC+∠DCA=90°

∴∠ADC=90°

即AD⊥DC                 ---------------------------------4分

2.连接BC

∵AD⊥DC∴

因为AB为圆O的直径

∴∠ACB=90°

∴∠ADC=∠ACB=90°

又∵∠DAC=∠CAO

∴△ADC∽△ACB

∴即    

∴                        ---------------------------------2分

       ---------------------------------3分   

解析:（1）连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到又得到另两个角相等，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，根据等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，从而得到∠ADC为直角，得证；

（2）先用勾股定理求出AC的长度，再利用△ADC∽△ACB求出AB的长度，然后利用直角三角形的性质求出的值.