Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，在BC边上取一点D，使BD=BA，连接AD．
求证：
（1）△ADC∽△BAC；
（2）点D是BC的黄金分割点．

Answer 1

分析：（1）由△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，可求得∠B与∠C的度数，又由BD=BA，∠BAD与∠CAD的度数，继而可得∠CAD=∠B，又由∠C是公共角，即可证得△ADC∽△BAC；
（2）由△ADC∽△BAC，可得AC²=BC•CD，又由AC=AB=BD，即可得BD²=BC•CD，即可证得点D是BC的黄金分割点．

解答：证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=72°，∠CAD=36°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC；

（2）∵△ADC∽△BAC，
∴

AC

CD

=

BC

AC

，
∴AC²=BC•CD，
∵AC=AB=BD，
∴BD²=BC•CD，
∴点D是BC的黄金分割点．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及黄金分割．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．