Question

在△ABC中，∠A=∠C，点E在BC边上，过点E作射线EF∥AB交AC于点F，EM交AC于点M，点N在射线EF上，且∠EMN=∠ENM，设∠ABC=α，∠MEN=β．
（1）如图1，若点M在线段AF上，α=60°，β=30°，求∠FMN的度数；
（2）若点M在AC边上（不与点A、C、F重合），α、β为任意角度，探究∠FMN与α、β的数量关系，请在图2中画出图形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行线得出∠FEC=∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠A、∠C，求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；
（2）分为两种情况：①当点M在AF上时，根据平行线得出∠FEC=∠B=α，根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形内角和定理求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；②当点M在CF上时，由①得出∠C=

1

2

（180°-α），∠EMN=90°-

1

2

β，代入∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C得出∠FMN+90°-

1

2

β=α-β+

1

2

（180°-α），即可求出答案．

解答：（1）解：∵EF∥AB，
∴∠B=∠FEC=60°，∠A=∠EFC，
∵∠A=∠C，
∴∠C=∠A=

1

2

（180°-∠FEC）=60°，
∵∠MEF=β=30°，
∴∠EMN=∠ENM=

1

2

（180°-30°）=75°，∠MEC=30°+60°=90°，
∴∠EMN=180°-90°-60°=30°，
∴∠FMN=∠EMN-∠EMC=75°-30°=45°．


（2）①当点M在AF上时，∠FMN=

1

2

α+

1

2

β，
如图2，∵EF∥AB，
∴∠FEC=∠B=α，
∵∠A=∠C，
∴∠C=

1

2

（180°-α），
∵∠EMN=∠ENM，
∴∠EMN=

1

2

（180°-β）=90°-

1

2

β，
∠MEC=∠FEC+∠MEN=α+β，
∴∠EMC=180°-∠MEC-∠C
=180°-（α+β）-

1

2

（180°-α）
=90°-

1

2

α-β，
∴∠FMN=∠EMN-∠EMC
=（90°-

1

2

β）-（90°-

1

2

α-β）=

1

2

α+

1

2

β；
②当点M在CF上时，∠FMN=

1

2

α-

1

2

β，
理由是：如图3，由①得：∠C=

1

2

（180°-α），∠EMN=90°-

1

2

β，
∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C，
即∠FMN+90°-

1

2

β=α-β+

1

2

（180°-α），
∴∠FMN=

1

2

α-

1

2

β．

点评：本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．