Question

（14分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B，顶点为D，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB₁的面积是△NDD₁面积的2倍，求点N的坐标。

Answer 1

解：（1）已知抛物线y=x²+bx+c经过A（1，0）、B（0，2），
∴ 
∴所求抛物线的解析式为y=x²-3x+2。…………………2分
(2)∵A(1,0)、B（0，2），∴OA=1，OB=2。
可得旋转后C点的坐标为（3，1）。
当x=3时，由y=x²-3x+2得y=2.
可知抛物线y=x²-3x+2过点（3，2）。…………………3分
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，
∴平移后的抛物线解析式为y=x²-3x+1。…………………4分
（3）∵点N在y=x²-3x+1上，可设N点坐标为（x₀,x²₀-3x₀+1）
将y=x²-3x+1配方得y=(x--,
∴其对称轴为x=…………………5分
1）当0＜x₀＜时，如图1，

∵S△NBB₁=2S△NDD₁
∴
∵x₀=1
此时x²₀-3x₀+1=-1
∴N点的坐标为（1，-1）…………………7分
2)当x₀＞时，如图2，

同理可得，
∴x₀=3
此时x²₀-3x₀+1=1
综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）…………………9分

解析