Question

是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（与点B、C不重合），是以AD为边的等边三角形，过点E作，交射线AC于点F，连结BE.
（1）如图，当点D在线段BC上运动时。①求证：；②探究四边形BCFE是怎样的四边形？并说明理由；

（2）如图，当点D在线段BC的延长线上运动时，请直接写出（1）的两个结论是否依然成立；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCFE是菱形？并说明理由。

Answer 1

（1）①根据等边三角形的性质可得，，，即得，从而可以证得结论；②四边形BCFE是平行四边形；（2）成立；（3）

试题分析：（1）①根据等边三角形的性质可得，，，即得，从而可以证得结论；②由①得，即得，又，即得，则可得，再结合即可得到结果；
（2）证法同（1）
（3）由可得，又可得，再结合四边形BCFE是平行四边形即可得到结果.
解：（1）①∵和都是等边三角形
∴，，
∴
∴；
②四边形BCFE是平行四边形
理由：由①得
∴
又∵，
∴
∴ （6分）
又∵
∴四边形BCFE是平行四边形；
（2）①；②四边形BCFE是平行四边形均成立；
（3）当点D运动到时，四边形BCFE是菱形
理由：∵
∴
又∵
∴
∵四边形BCFE是平行四边形
∴四边形BCFE是菱形.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.