Question

【题目】问题背景

如图，在正方形的内部，作，根据三角形全等的条件，易得≌≌≌，从而得到四边形是正方形．

类比探究

如图，在正的内部，作， ， ， 两两相交于， ， 三点（， ， 三点不重合）．

（）， ， 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（）是否为正三角形？请说明理由．

（）进一步探究发现，图中的的三边存在一定的等量关系，设， ， ，请探索， ， 满足的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是；（3）

【解析】试题分析：（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．

试题解析：（ ）≌≌，理由如下：

∵是正三角形，

∴， ，

∵， ， ，

∴，

在和中， ，

∴≌，

同理可得≌，

∴≌≌．

（）是正三角形，理由如下．

∵≌≌，

∴，

∴，

∴是正三角形．

（）作于，如图所示：

∵是正三角形，

∴，

在中， ， ，

在中，

∴．