Question

【题目】如图1，点P.Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB.BC上的点，点P从顶点A向B出发，点Q从顶点B同时出发向C点运动，且它们的速度都为1cm/s,

（1）连接AQ.CP交于点M，则在P.Q运动的过程中，△ABQ与△CAP全等吗？请说明理由；

（2）∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

（3）几秒后△PBQ是直角三角形？

（4）如图2，若点P.Q在运动到终点后继续在射线AB.BC上运动，直线AQ.CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

Answer 1

【答案】（1）△ABQ≌△CAP；（2）∠CMQ=60°不变；（3），当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（4）∠CMQ=120°不变.

【解析】

（1）先根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP；

（2）由全等三角形的性质可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出结论；

（3）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此两种情况即可得出结论．

(4)由△ABC是等边三角形，可得AC=BC, ∠ACB=∠ABC=60°可得∠ACQ=∠CBP=120°

可证△ACQ≌△CBP后可∠QAC的度数.

解：（1）△ABQ≌△CAP

理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC, ∠B=∠PAC=60°

∵点P.Q同时出发，速度相同

∴AP=BQ

在△ABE和△CBD中，

∴△ABQ≌△CAP

（2）∠CMQ=60°不变 ，理由如下：

∵△ABQ≌△CAP

∴∠BAQ=∠ACP

∴ ∠CMQ=∠ACO+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°

（3）设时间为t，则AP=BQ=t，则BP=4-t

①当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°

∴ BP=2BQ

∴ 4-t=2t

解得 t=

②当∠BPQ=90°时，∠PQB=30°

∴ BQ=2BP

∴ t=2(4-t)

解得 t=

∴综上，当第秒或第时，△PBQ为直角三角形.

（4）∠CMQ=120°不变，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC, ∠ACB=∠ABC=60°

∴∠ACQ=∠CBP=120°

在△ACQ和△CBP中，

∴△ACQ≌△CBP

∴∠QAC=∠PCB

∴ ∠CMQ=∠QAC+∠ACM=∠PCB+∠ACM=180°-∠ACB=120°