Question

（2013•本溪三模）如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=

1

2

，∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=10，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由sinB的值利用特殊角的三角函数值求出∠B的度数，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AOC为60°，根据OA=OC，得到三角形AOC为等边三角形，确定出∠OAC为60°，根据∠CAD度数，由∠OAC+∠CAD=90°，确定出AD垂直于OA，即可得证；
（2）由OD垂直于AB，利用垂径定理得到C为弧AB中点，确定出AC=BC=10，由三角形AOC为等边三角形得到OA=10，由tan∠AOD求出AD的长，根据阴影部分面积=三角形OAD面积-扇形AOC面积，求出即可．

解答：解：（1）连接OA，
∵sinB=

1

2

，∴∠B=30°，
∵∠AOD与∠B都对弧AC，
∴∠AOD=2∠B=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°，
则AD为圆O的切线；

（2）∵OD⊥AB，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=BC=10，
由（1）得到△AOC为等边三角形，
∴OA=AC=10，
在Rt△OAD中，tan∠AOD=

AD

OA

，即AD=10

3

，
则S_阴影=S_△AOD-S_扇形AOC=

1

2

×10×10

3

-

60π×102

360

=50

3

-

50π

3

．

点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆周角定理，垂径定理，以及扇形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．