Question

如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，

△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．

（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；

（2）求B、C两点的坐标；

（3）求直线CD的函数解析式；

（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标.

Answer 1

解：（1）C为弧OB的中点

            联结AC

            ∵OC⊥OA    ∴AC为圆的直径 

            ∴∠ABC=90°

∵△OAB为等边三角形

∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°

∵∠ACB=∠AOB=60°

∴∠COB=∠OBC=30°

∴弧OC=弧BC      

即C为弧OB的中点

（2）过点B作BE⊥OA于E

∵A（2，0）    ∴OA=2

∴OE=1，BE= 

∴点B的坐标是（1，）  

∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径

∴AC⊥CD，AC⊥OB    ∴∠CAO=∠OCD=30°∴

∴C(0,)               

（3）在△COD中，∠ COD=90°，

∴OD=      ∴D(-,0)          

        ∴直线CD的解析式为：

（4）∵四边形OPCD是等腰梯形

     ∴∠CDO=∠DCP=60°  

     ∴∠OCP=∠COB =30°

     ∴PC=PO            

     过点P 作PF⊥OC于F,  则OF=OC=,

∴ PF=                            

    ∴ 点P的坐标为：（，）