Question

（2013•大兴区一模）分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，连结D₁D₂．
（1）如图1，过点C作直线HG垂直于直线AB于点H，交D₁D₂于点G．试探究线段GD₁与线段GD₂的数量关系，并加以证明．
（2）如图2，CF为AB边中线，试探究线段CF与线段D₁D₂的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）作D₁F⊥GH于F，D₂M⊥GH于M，可以得出△D₁FC≌△CHA，△CMD₂≌△BHC就可以得出D₁F=D₂M，得出△D₁FG≌△D₂MG就可以得出结论；
（2）分别将△ACF与△BCF绕着点C顺时针、逆时针旋转90°，使AC、BC分别与CD₁、CD₂ 重合，得到△CD₁F₁ 与△CD₂F₂，F₁、C、F₂三点共线，且CF₁=CF₂=CF．求出四边形D₁F₁ F₂D₂ 是平行四边形就可以得出结论．

解答：解：（1）FD₁=FD₂．
理由：作D₁F⊥GH于F，D₂M⊥GH于M，且HG⊥AB，
∴∠D₁FC=∠CHA=∠CHB=∠D₂MC=90°．
∵四边形ACD₁E₁和四边形BCD₂E₂是正方形，
∴AC=D₁C，BC=D₂C，∠ACD₁=∠BCD₂=90°，
∴∠D₁CF+∠ACH=90°，∠D₂CM+∠HCB=90°．
∵∠HAC+∠HCA=90°，∠HBC+∠HCB=90°
∴∠D₁CF=∠HAC，∠D₂CM=∠HBC．
在△D₁FC和△CHA中，

∠D1FC=∠CHA ∠D1CF=∠HAC D1C=AC

，
△D₁FC≌△CHA，
∴D₁F=CH．
在△CMD₂和△BHC中，

∠D2MC=∠CHB ∠D2CM=∠HBC CD2=BC

，
∴△CMD₂≌△BHC，
∴D₂M=CH．
∴D₁F=D₂M．
在△D₁FG和△D₂MG中，

∠D1FC=∠D2MC ∠D1GF=∠D2GM D1F=D2M

，
∴△D₁FG≌△D₂MG，
∴FD₁=FD₂．
（2）D₁ D₂=2CF．
理由：分别将△ACF与△BCF绕着点C顺时针、逆时针旋转90°，
使AC、BC分别与CD₁、CD₂ 重合，得到△CD₁F₁ 与△CD₂F₂，
∴F₁、C、F₂三点共线，且CF₁=CF₂=CF．
∴F₁F₂=2CF．
∵CF为AB边中线，
∴AF=BF．
∵∠AFC+∠BFC=180°，
∴∠D₁F₁C+∠D₂F₂C=180°．
∴D₁F₁∥D₂F₂．
∵D₁F₁=AF=BF=D₂F₂，
∴D₁F₁ F₂D₂ 是平行四边形．
∴D₁ D₂=F₁F₂=2CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，旋转的运用，解答时证明三角形全等和运用三角形旋转是关键．