题目内容
19、如图，在八边形的八个顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，7，8．能否使任意四个相邻顶点处的四数之和：（1）大于16；（2）大于18．若能，请填出一种情形；若不能，请说明理由．
分析：（1）可以分别设这八个数为a，b，c，d，e，f，g，h，然后将其四个数相加，根据题中给出的条件可知，这把个数的和应该≥144，判断即可得出结论．
（2）根据上题的出的结论直接判断即可解答．
（2）根据上题的出的结论直接判断即可解答．
解答：解：（1）能
如图①所填（答案不唯一，只须 填出一种即可）
（2）不能说理如下：
假如存在一种填法，如图②所示使任意的四个相邻顶点处的四数之和大于18，因为这些和为正整数，所以这些和必不小于19
即：a+b+c+d≥19 b+c+d+e≥19 c+d+e+f≥19 d+e+f+g≥19 e+f+g+h≥19 f+g+h+a≥19 g+h+a+b≥19 h+a+b+d≥19
把上述八式左右两边分别相加得：4（a+b+c+d+e+f+g+h）≥19×8=152
而左边=4（a+b+c+d+e+f+g+h）=4（1+2+3+4+5+6+7+8）=144
显然144≥152不可能成立
∴不存在这样的情形．
如图①所填（答案不唯一，只须 填出一种即可）
（2）不能说理如下：
假如存在一种填法，如图②所示使任意的四个相邻顶点处的四数之和大于18，因为这些和为正整数，所以这些和必不小于19
即：a+b+c+d≥19 b+c+d+e≥19 c+d+e+f≥19 d+e+f+g≥19 e+f+g+h≥19 f+g+h+a≥19 g+h+a+b≥19 h+a+b+d≥19
把上述八式左右两边分别相加得：4（a+b+c+d+e+f+g+h）≥19×8=152
而左边=4（a+b+c+d+e+f+g+h）=4（1+2+3+4+5+6+7+8）=144
显然144≥152不可能成立
∴不存在这样的情形．
点评：本题考查了整数问题的综合运用，解题的关键是求出这八个数的最大值与题中所求的值的范围是否相符．
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