Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a=

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，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式的符号来证明；
（2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）²-2bc=（

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）²，由此可以求得k的值．

解答：（1）证明：∵△=[-（2k+1）]²-4×1×（4k-3）=4k²-12k+13=（2k-3）²+4，
∴无论k取什么实数值，总有=（2k-3）²+4＞0，即△＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x²-（2k+1）x+4k-3=0的两个根，得
∴b+c=2k+1，bc=4k-3，
又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得
b²+c²=a²，
∴（b+c）²-2bc=（

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）²，即（2k+1）²-2（4k-3）=31，
整理后，得k²-k-6=0，解这个方程，得k=-2或k=3，
当k=-2时，b+c=-4+1=-3＜，不符合题意，舍去，当k=3时，b+c=2×3+1=7，符合题意，故k=3．

点评：本题考查了根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．