Question

已知抛物线的图象经过原点O，交轴于点A，其顶点B的坐标为.

（1）求该抛物线的函数关系式及点A的坐标；

（2）在抛物线上求点P,使；

（3）在抛物线上是否存在点Q,使△QAO与△AOB相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）（3分）∵抛物线的顶点为B

∴设

抛物线经过原点（0、0）

∴

∴

∴，即

令得：

解得，，∴A的坐标为（6,0）

        （2）∵△AOB与△POA同底不同高，且

∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上高的2倍

即P点纵坐标是

∴，

解得，

∴,

(3)过B作BC⊥轴于C

在Rt△OBC中，tan∠OBC=

∴∠OBC=,而OB=AB,故∠OBA=

分两种情况：当点Q在轴下方时，△QAO就是△BAO,

此时Q点坐标Q

当点Q在轴上方时，由△ABO∽△QAO,有AQ=OA=6，∠OAQ=,

作QD⊥轴,,垂足为D，则∠QAD=,

∴,AD=3，

∴OD=9.

此时Q点坐标是

而满足关系，即Q在抛物线上

根据对称性可知点也满足条件

∴Q点坐标为,,