Question

（2013•下城区二模）如图，已知二次函数y=

1

3

x2+

2

3

x-1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（　　）

A．4 个

B．3个

C．2个

D．1个

Answer 1

分析：先确定A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，-1），讨论：由于S_△ABC=

1

2

×4×1=2，所以在x上方，抛物线上一定有两点满足△APC的面积为2；当点P在x轴下方，设P点坐标为（x，y），作PD⊥x轴于D，利用S_△APC=S_梯形APDO-S_△PDC-S_△AOC得到3y+x+7=0，而y=

1

3

x2+

2

3

x-1，所以x²+3x=4=0，此方程无实数根，可判断在x下方，不存在抛物线上一点P满足△APC的面积为2．

解答：解：∵令x=0，y=-1；令y=0，

1

3

x2+

2

3

x-1=0，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，-1），
连结OB，
∵S_△ABC=

1

2

×4×1=2，
∴在x上方，抛物线上一定有两点满足△APC的面积为2；
当点P在x轴下方，设P点坐标为（x，y），（y＜-1），如图，作PD⊥x轴于D，
∵S_△APC=S_梯形APDO-S_△PDC-S_△AOC，
∴

1

2

（3-x）•（-y）-

1

2

（-1-y）•（-x）-

1

2

×3×1=2，
∴3y+x+7=0，
而y=

1

3

x2+

2

3

x-1，
∴x²+3x=4=0，
∵△=9-4×4＜0，
∴此方程无实数根，
即在x下方，不存在抛物线上一点P满足△APC的面积为2．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．