Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

．
（1）如图1，若以点A为圆心、r为半径的⊙A与BC相切于点D，求r．
（2）如图2，若⊙A的半径r=1，点O在BC上运动（点O与B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
②如图2，以点O为圆心，BO长为半径作圆，当⊙O与⊙A相切时，求△AOC的面积．

Answer 1

（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=4，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD=r，AD⊥BC，
∴AD为BC边上的中线，
∴r=AD=

1

2

BC=2，

（2）①作AD⊥BC于点D，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=4，
∴AD为BC边上的中线，
∴AD=

1

2

BC=2，
∴S_△AOC=

1

2

OC•AD，
∵BO=x，△AOC的面积为y，
∴y=4-x（0＜x＜4），

②过O点作OE⊥AB交AB于E，
∵⊙A的半径为1，OB=x，
当两圆外切时，
∴OA=1+x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=

2

2

x，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2

2

-

2

2

x）²+（

2

2

x）²，
∴x=

7

6

，
∵△AOC面积=y=4-x，
∴△AOC面积=

17

6

；
当两圆内切时，
∴OA=x-1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（x-1）²=（2

2

-

2

2

x）²+（

2

2

x）²，
∴x=

7

2

，
∴△AOC面积=y=4-x=4-

7

2

=

1

2

，
∴△AOC面积为

17

6

或

1

2

．