Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．点M为直角梯形ABCD内一点，满足∠AMD=135°，将△ADM绕点A顺时针旋转得到对应的△ABN（AD与AB重合），连接MN．
（1）判断线段MN和BN的位置关系，并说明理由；
（2）若AM=1，MD=3

2

，求MB的长及点B到直线AN的距离；
（3）在（2）的情况下，若BC=8，求四边形MBCD的面积．

Answer 1

分析：（1）首先根据旋转的性质求出AM=AN，以及∠BAD=90°=∠NAM，进而得出∠BNM=∠ANB-∠ANM=90°，即可得出答案；
（2）过点B作BE⊥AN，交AN的延长线于点E，首先求出MN，BM的长，进而得出点B到直线AN的距离；
（3）首先得出S_梯形ABCD=

1

2

×（5+8）×5=

65

2

，进而得出S_△ABM+S_△ADM=S_△ABM+S_△ABN=S_{四边形ANBM}=S_△AMN+S_△BMN，即可得出四边形MBCD的面积．

解答：解：（1）MN⊥BN．
理由如下：
∵△ABN是由△ADM绕点A顺时针旋转得到的，且AD与AB重合，
∴∠NAM=∠BAD，∠AMD=∠ANB，AM=AN，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠BAD=90°=∠NAM，
∴∠AMN=∠ANM=45°，
∵∠AMD=135°，
∴∠ANB=135°，
∴∠BNM=∠ANB-∠ANM=90°，
  即MN⊥BN；

（2）过点B作BE⊥AN，交AN的延长线于点E．
由题及（1）知：∠NAM=90°，
AN=AM=1，BN=DM=3

2

，
∴MN=

12+12

=

2

，
∴BM=

2+18

=2

5

，
∵∠ANB=135°，
∴∠ENB=45°，
∴BE=NE=

2

2

BN=3，
即点B到直线AN的距离为3；
    
（3）由（2）知：AE=4，BE=3，
∴AB=

32+42

=5，
∵AD与AB重合，
∴AD=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×（5+8）×5=

65

2

，
∵△ABN是由△ADM绕点A顺时针旋转得到的，
∴S_△ABN=S_△ADM，
∴S_△ABM+S_△ADM=S_△ABM+S_△ABN=S_{四边形ANBM}=S_△AMN+S_△BMN，
=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×2

2

=

7

2

，
∴S_{四边形MBCD}=S_梯形ABCD-（S_△ABM+S_△ADM）=

65

2

-

7

2

=29．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，正确作出辅助线BE=NE是解题关键．