Question

（2013•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2mx+m²+m的顶点为C．
（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）直线y=x+2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧．
①若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；
②抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'．以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB′+

2

2

QB的值最小，则这个最小值为

10

．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出点C的坐标；
（2）①联立直线与抛物线求出交点A、B的坐标，然后求出AB的长，再根据AB∥OC求出两平行线间的距离，最后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
②根据A、B的坐标求出AM、BM的长，再求出点M的坐标，从而得到⊙M的半径为2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，然后利用两边对应成比例夹角相等两三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出QN=

2

2

QB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边判断出Q、N、B′三点共线时QB′+

2

2

QB最小，然后噶呢句勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵y=x²-2mx+m²+m=（x-m）²+m，
∴顶点坐标为C（m，m）．

（2）①∵y=x+2与抛物线y=x²-2mx+m²+m交于A、B两点，
∴联立

y=x2-2mx+m2+m y=x+2

，
解得

x1=m-1 y1=m+1

，

x2=m+2 y2=m+4

，
∵点A在点B的左侧，
∴A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB=

(m-1-m-2)2+(m+1-m-4)2

=3

2

，
∵直线OC的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=x+2，
∴AB∥OC，两直线AB、OC之间距离h=2×

2

2

=

2

，
∴S_△APB=

1

2

AB•h=

1

2

×3

2

×

2

=3；

②∵A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AM=1×

2

=

2

，BM=2×

2

=2

2

，
由M点坐标（m，m+2），C点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为 （m+2）-m=2
取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，
则MN=

1

2

BM=

1

2

×2

2

=

2

，
∵

MN

QM

=

QM

BM

=

2

2

，∠QMN=∠BMQ，
∴△MNQ∽△MQB，
∴

QN

QB

=

MN

QM

=

2

2

，
∴QN=

2

2

QB，
由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+

2

2

QB最小，
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴直线AB与对称轴夹角为45°，
∵点B、B′关于对称轴对称，
∴∠BMB′=90°，
由勾股定理得，QB′+

2

2

QB最小值=

B′M2+MN2

=

(2 2 )2+ 2 2

=

10

．
故答案为：

10

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数解析式的转化，联立两函数解析式求交点坐标，勾股定理的应用，三角形的面积的求解，相似三角形的判定与性质，本题难点在于（2）②，作辅助线构造出相似三角形并得到与

2

2

QB相等的线段是解题的难点，也关键．