Question

在△ABC中，AB=m•AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD交BC于点E．

（1）如图1，当m=1时，探究BE与EC的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当m≠1时，探究BE与EC的数量关系，并加以证明．

Answer 1

解：（1）BE=2EC．
证明：过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中线，∴AD=CD，
∵∠ADG=∠CDB，
∴△ADG≌△BDC．
∴∠G=∠FBE，AG=BC．
设AD=DC=1，
则AB=2，BD==，BC=2．
∴AF=1×2÷=．
∴BF==，DF==．
∴GF=，
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE=2×÷=，
∴CE=，
∴BE=2CE．

（2）BE=2m²CE．
证明：过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中线，∴AD=CD，
∴△ADG≌△BDC．
∴AG=BC．
设AD=DC=1，
则AB=2m，BD=，BC=2．
∴AF=1×2m÷．
∴BF==，GF=BG-BF=2BD-BF=．
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE：AG=BF：GF=
∵AG=BC，
∴BE：BC=，
∴BE：CE=2m²：1，
∴BE=2m²CE．
分析：（1）过点A作AG∥BC与BD的延长线相交于点G，则可得到三角形ADG全等于三角形BDC，设AD=DC=1，分别算出BF，DF的长，利用△BEF∽△GAF的相似比可求得BE的长度，从而求得EC的长度，可求BE=2EC．
（2）仿照第1问求解．
点评：本题计算量大，难度大，综合考查三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质及勾股定理等知识．