Question

25、如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOD=∠CBO，
（1）说明AD=AO=CO=BC的理由；
（2）已知△ABD的的周长为a，△AOB的周长为b，求?ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO，由对顶角相等及∠AOD=∠CBO，得∠COB=∠CBO，则CO=BC，又由平行四边形的对边相等，得AD=BC，证明结论；
（2）由（1）的结论及已知得OD=a-b，则BD=2（a-b），AD+AB=a-BD，?ABCD的周长=2（AD+AB）．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AO=CO（平行四边形对角线互相平分），…（1分）
AD=BC（平行四边形对边相等）．…（1分）
∵∠AOD=∠CBO（已知），∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠COB=∠CBO，∴OC=BC（等角对等边）．…（1分）
∴AD=AO=CO=BC．…（1分）

（2）∵AB+AD+BD=a，AB+AO+BO=b，AO=AD，
∴BD-DO=a-b，即OB=a-b．…（1分）
∴BD=2OB=2a-2b．
∴AB+AD=a-BD=a-（2a-2b）=2b-a．…（1分）
∴?ABCD的周长AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=4b-2a．…（1分）

点评：本题考查了平行四边形的性质．关键是利用角的相等关系证明等腰三角形，得到线段相等，利用两个三角形的周长差求线段的长．