Question

在平面直角坐标系中，点A在双曲线y=

3

x

上，过A作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，将矩形OBAC沿对角线OA折叠后得C的对应点为D，交AB边于点E，如果A点的坐标是（m，1）．
（1）补全图形，并求点E坐标；
（2）判断点D是否落在已知的双曲线上，并说明理由；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以O、C、M、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据A点的纵坐标得出A点的横坐标，进而利用翻折变换的性质以及勾股定理求出E点坐标；
（2）根据各边长得出∠AOD=30°，即可得出∠DOF=60°，利用OF=DO•cos60°，DF=DO•sin60°，求出D点坐标，进而利用反比例函数图象上点的性质得出；
（3）根据（2）所求以及菱形的性质分别根据OC为对角线和一边时求出M点坐标即可．

解答：解：（1）如图1所示：
把y=1代入，x=

3

，
∴A（

3

，1）
设BE=x，则 AE=

3

-x，
∵∠EAB=∠AOC，∠AOC=∠AOD，
∴∠EAO=∠AOE，
∴OE=

3

-x，
在Rt△BOE中
则x²+1=（

3

-x）²，
解得：x=

3

3

∴E（

3

3

，1）；

（2）如图2：过点D作DM⊥y轴于点M，DF⊥x轴于点F，
∵AC=1，CO=

3

，
∴tan∠AOC=

1

3

=

3

3

，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOF=60°，OF=DO•cos60°=

3

2

，DF=DO•sin60°=

3

2

，
∴D（

3

2

，

3

2

），
∵

3

2

×

3

2

=

3 3

4

≠

3

，
∴点D不在双曲线上；

（3）如图2，
存在，
当M点在第一象限，CO为菱形的一边，且OC

∥

.

DM₁时，
∵CO=

3

，∴DM₁=

3

，
∵MD=

3

2

，
∴M₁M=

3

2

3

，
∴M₁的坐标为：（

3

2

3

，

3

2

），
当M点在第四象限，OC为对角线时，
菱形DOM₂C关于x轴对称，
∴D点与M₂点关于x轴对称，
∴M₂的坐标为：（

3

2

，

3

2

），
当M点在第二象限，CO为菱形的一边，且OC

∥

.

DM₃时，
∵CO=

3

，
∴DM₃=

3

，
∵MD=

3

2

，
∴M₃D=

3

2

，
∴M₃的坐标为：（-

3

2

，

3

2

），
综上所述：存在点M，使以O、C、M、D为顶点的四边形是菱形，M点的坐标为：
M₁（

3

2

3

，

3

2

），M₂（

3

2

，-

3

2

），M₃（-

3

2

，

3

2

）．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及翻折变换的性质和锐角三角函数关系以及勾股定理等知识，根据翻折变换的知识得出D点坐标是解题关键．