题目内容
（2013•安庆一模）矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点D同时出发沿边DC向点C以1cm/s的速度运动至点C停止，如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2）（1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）试求出y的最小值；
（3）是否存在某一时间x，使得矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为原矩形面积的一半？若存在，求出此时x值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据y=S矩形ABCD-S矩形ECFH就分情况讨论，当0≤x≤2时或当2≤x≤3时分别可以求出其解析式就即可；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式就可以得出最小值，一次函数的由自变量的取值范围就可以得出最小值；
（3）由矩形的面积可以知道一半的值，由第二问的数值的比较可以得出结论．
（2）将二次函数的解析式化为顶点式就可以得出最小值，一次函数的由自变量的取值范围就可以得出最小值；
（3）由矩形的面积可以知道一半的值，由第二问的数值的比较可以得出结论．
解答：解：（1）由题意，CE=2xcm，DF=xcm
∴CF=（3-x）cm．
当0≤x≤2时，
∴y=12-2x（3-x），
y=2x2-6x+12，
当2＜x≤3时
y=12-4（3-x），
y=4x．
∴y=
；
（2）当0≤x≤2时，
y=2x2-6x+12，
∴y=2（x2-3x）+12，
y=2（x-1.5）2+7.5．
∴a=2＞0，抛物线的开口向上，y由最小值，
∴当x=1.5时，y最小=7.5
当2≤x≤3时，y=4x，
∴k=4＞0，y随x的增大而增大，
∴x=2时，y最小=8，
∴x=1.5时，y最小=7.5；
（3）不存在，
∵
S矩形ABCD=12×
=6，
当x=
时，y最小=
，
6＜7.5，
∴不存在某一时间x，使得矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为原矩形面积的一半．
∴CF=（3-x）cm．
当0≤x≤2时，
∴y=12-2x（3-x），
y=2x2-6x+12，
当2＜x≤3时
y=12-4（3-x），
y=4x．
∴y=
|
（2）当0≤x≤2时，
y=2x2-6x+12，
∴y=2（x2-3x）+12，
y=2（x-1.5）2+7.5．
∴a=2＞0，抛物线的开口向上，y由最小值，
∴当x=1.5时，y最小=7.5
当2≤x≤3时，y=4x，
∴k=4＞0，y随x的增大而增大，
∴x=2时，y最小=8，
∴x=1.5时，y最小=7.5；
（3）不存在，
∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当x=
| 3 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
6＜7.5，
∴不存在某一时间x，使得矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为原矩形面积的一半．
点评：本题考查了矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式及一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，一次函数的最值和二次函数的最值的确定，解答时先求出函数的解析式是关键．
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