题目内容
(2013•安庆一模)阅读下列解题过程,并解答后面的问题:
如图1,在平面直角坐标系xOy中,A(x1,y1),B(x2,y2),C为线段AB的中点,求C点的坐标.
解:分布过A、C做x轴的平行线,过B、C做y轴的平行线,两组平行线的交点如图1所示.
设C(x0,y0),则D(x0,y1),E(x2,y1),F(x2,y0)
由图1可知:x0=
+x1=
y0=
+x1=
∴(
,
)
问题:(1)已知A(-1,4),B(3,-2),则线段AB的中点坐标为
(2)平行四边形ABCD中,点A、B、C的坐标分别为(1,-4),(0,2),(5,6),求点D的坐标.
(3)如图2,B(6,4)在函数y=
x+1的图象上,A(5,2),C在x轴上,D在函数y=
x+1的图象上,以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形,直接写出所有满足条件的D点的坐标.
如图1,在平面直角坐标系xOy中,A(x1,y1),B(x2,y2),C为线段AB的中点,求C点的坐标.
解:分布过A、C做x轴的平行线,过B、C做y轴的平行线,两组平行线的交点如图1所示.
设C(x0,y0),则D(x0,y1),E(x2,y1),F(x2,y0)
由图1可知:x0=
x2-x1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
y0=
y2-y1 |
2 |
y1+y2 |
2 |
∴(
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
问题:(1)已知A(-1,4),B(3,-2),则线段AB的中点坐标为
(1,1)
(1,1)
.(2)平行四边形ABCD中,点A、B、C的坐标分别为(1,-4),(0,2),(5,6),求点D的坐标.
(3)如图2,B(6,4)在函数y=
1 |
2 |
1 |
2 |
分析:(1)直接套用中点坐标公式,即可得出中点坐标;
(2)根据AC、BD的中点重合,可得出
=
,
=
,代入数据可得出点D的坐标;
(3)分类讨论,①当AB为该平行四边形一边时,此时CD∥AB,分别求出以AD、BC为对角线时,以AC、BD为对角线的情况可得出点D坐标;②当AB为该平行四边形的一条对角线时,根据AB中点与CD中点重合,可得出点D坐标.
(2)根据AC、BD的中点重合,可得出
xA+xC |
2 |
xB+xD |
2 |
yA+yC |
2 |
yB+yD |
2 |
(3)分类讨论,①当AB为该平行四边形一边时,此时CD∥AB,分别求出以AD、BC为对角线时,以AC、BD为对角线的情况可得出点D坐标;②当AB为该平行四边形的一条对角线时,根据AB中点与CD中点重合,可得出点D坐标.
解答:解:(1)AB中点坐标为(
,
)=(1,1);
(2)根据平行四边形的性质:对角线互相平分,可知AC、BD的中点重合,
由中点坐标公式可得:
=
,
=
,
代入数据,得:
=
,
=
,
解得:xD=6,yD=0,
所以点D的坐标为(6,0).
(3)①当AB为该平行四边形一边时,则CD∥AB,对角线为AD、BC或AC、BD;
故可得:
=
,
=
或
=
,
=
,
故可得yC-yD=yA-yB=2或yD-yC=yA-yB=2
∵yC=0,
∴yD=2或-2,
代入到y=
x+1中,可得D(2,2)或 D (-6,-2).
当AB为该平行四边形的一条对角线时,则CD为另一条对角线;
=
;
=
,
yC+yD=yA+yB=2+4,
∵yC=0,
∴yD=6,
代入到y=
x+1中,可得D(10,6)
综上,符合条件的D点坐标为D(2,2)或 D(-6,-2)、D(10,6).
-1+3 |
2 |
4-2 |
2 |
(2)根据平行四边形的性质:对角线互相平分,可知AC、BD的中点重合,
由中点坐标公式可得:
xA+xC |
2 |
xB+xD |
2 |
yA+yC |
2 |
yB+yD |
2 |
代入数据,得:
1+5 |
2 |
0+xD |
2 |
-4+6 |
2 |
2+yD |
2 |
解得:xD=6,yD=0,
所以点D的坐标为(6,0).
(3)①当AB为该平行四边形一边时,则CD∥AB,对角线为AD、BC或AC、BD;
故可得:
xA+xD |
2 |
xB+xC |
2 |
yA+yD |
2 |
yB+yC |
2 |
xA+xC |
2 |
xB+xD |
2 |
yA+yC |
2 |
yB+yD |
2 |
故可得yC-yD=yA-yB=2或yD-yC=yA-yB=2
∵yC=0,
∴yD=2或-2,
代入到y=
1 |
2 |
当AB为该平行四边形的一条对角线时,则CD为另一条对角线;
xA+xB |
2 |
xC+xD |
2 |
yA+yB |
2 |
yC+yD |
2 |
yC+yD=yA+yB=2+4,
∵yC=0,
∴yD=6,
代入到y=
1 |
2 |
综上,符合条件的D点坐标为D(2,2)或 D(-6,-2)、D(10,6).
点评:本题考查了一次函数的综合题,涉及了中点坐标公式、平行四边形的性质,难点在第三问,注意分类讨论,不要漏解,难度较大.
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