Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

【小题1】求证：△ABE≌△CDF；
【小题2】若AC与BD交于点O， 求证：AO=CO

Answer 1

【小题1】证明：(1)∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD="90°" ……………………1分
∵BF=DE
∴BF-EF=DE-EF 即BE=DF  ……………………2分
∵AB=CD
∴Rt△ABE≌Rt△CDF         ……………………3分
【小题2】由(1)可知Rt△ABE≌Rt△CDF
∴∠ABE=∠CDF               ……………………4分
∴AB∥CD                   ……………………5分
∵AB=CD
∴四边形ABCD平行四边形，    ……………………6分
∴OA=OC                 ……………………7分解析:
（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO