题目内容
在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O（0，0）、B（12，0）、C（12，16），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区，如图所示．（1）求圆形区域的面积（π取3.14）；
（2）某时刻海面上出现一渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到渔船A的距离（结果保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中的位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？请通过计算解释．
【答案】分析：（1）根据O，B，C的坐标，即可证明△OBC是直角三角形，则OC是直径，据此即可求解；
（2）在△OAB中，利用正弦定理即可求得AB的长；
（3）利用三角函数即可求得A点的纵坐标的值，与圆的直径比较大小即可判断．
解答：
解：（1）由O（0，0），B（12，0），C（12，16）三点的坐标可知：OB⊥BC，即△OBC为直角三角形，
所以其外接圆的直径 2R=OC=
=20，
即R=10，
故所求圆形区域的面积S=πR2=100π=314；
（2）由图可知，在△OAB中，∠AOB=90°-45°=45°，∠OBA=90°+30°=120°，OB=12，
则∠OAB=180°-45°-120°=15°，
根据正弦定理有
=
，
即
=
，
解得AB=12（
+1）≈32.8；
（3）设A点的纵坐标为y，则
y=ABsin（180°-120°）=12（
+1）×
=6（3+
）＞2R，
因此当渔船A由2中的位置向正西方向航行时，不会进入海洋生物保护区．
点评：本题主要考查了方向角的定义，正确运用正弦定理求得AB的长，是解题的关键．
（2）在△OAB中，利用正弦定理即可求得AB的长；
（3）利用三角函数即可求得A点的纵坐标的值，与圆的直径比较大小即可判断．
解答：
解：（1）由O（0，0），B（12，0），C（12，16）三点的坐标可知：OB⊥BC，即△OBC为直角三角形，所以其外接圆的直径 2R=OC=
=20，即R=10，
故所求圆形区域的面积S=πR2=100π=314；
（2）由图可知，在△OAB中，∠AOB=90°-45°=45°，∠OBA=90°+30°=120°，OB=12，
则∠OAB=180°-45°-120°=15°，
根据正弦定理有
=，即
=，解得AB=12（
+1）≈32.8；（3）设A点的纵坐标为y，则
y=ABsin（180°-120°）=12（
+1）×=6（3+）＞2R，因此当渔船A由2中的位置向正西方向航行时，不会进入海洋生物保护区．
点评：本题主要考查了方向角的定义，正确运用正弦定理求得AB的长，是解题的关键．
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