Question

如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且AB•AC=BD•CE．
求证：△ABD∽△ECA．

Answer 1

证明：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形的三内角相等，都等于60°），
∴∠ABD=∠ACE（等角的补角相等），
又AB•AC=BD•CE（已知），即=，
∴△ABD∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）．
分析：根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，利用等角的补角相等得到∠ABD=∠ACE，然后把题中已知的等式化为比例的形式，根据两边对应成比例，且夹角对应相等的两三角形相似即可得证．
点评：本题考查了等边三角形性的性质以及相似三角形的判定，证明三角形相似的方法有：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角对应相等两三角形相似；③三边对应成比例两三角形相似．做题时要根据已知的条件，选择合适的方法．把AB•AC=BD•CE化为比例的形式，得到两三角形的对应边成比例是解本题的关键．