Question

已知：△ABC中，∠ACB=2∠ABC，AD为∠BAC的平分线，E为线段AC上一点，过E作AD的垂线交直线AB于F．

（1）当E点与C点重合时（如图1），求证：BF=DE；
（2）连接BE交AD于点N，M是BF的中点，连接DM（如图2），若DM⊥BF，DC=4，S_△ABD：S_△ACD=3：2，求DN的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用等角对等边即可证得AF=AE，则可以证明△AFD≌△AED，得到DF=DE，∠AFD=∠AED，根据则∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可以证得；、
（2）根据三角形的面积公式即可得到BD：DC=3：2，即可求得BD和AB的长度，然后根据角平分线的性质，以及三角形的面积公式得到AB：AC=3：2，然后根据（1）的结论可以得到AQ=AM，DC=BM，则=，求得AC、AB的长度，然后根据勾股定理，列方程即可求得PC的长，则根据勾股定理求得AD的长度，然后证明△DAE∽△DEN，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解答：证明：（1）连接DF，设AD与EF交于点K，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AKF=∠AKE=90°，
∴∠AFK=∠AEK，
∴AF=AE，
则在△AFD和△AED中：
，
∴△AFD≌△AED，
∴DF=DE，∠AFD=∠AED，
又∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
∴DE=BF；
（2）过A作AP⊥BC于点P，过D作DQ⊥AC于点Q．连接DF，
∵S_△ABD：S_△ACD=3：2，即=，
∴=，
∵DC=4，
∴BD=6
∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DQ⊥AC，
∴DM=DQ，
∴=，
∴=，由（1）可得：AQ=AM，DC=BM，
∴AB=AC+DC，
∴=，
∴AC=8，AB=12，
设PC=x，则BP=10-x，又勾股定理得：AB²-BP²=AC²-PC²=AP²，
即12²-（10-x）²=8²-x²，解得：x=1，
∴DP=3，
又AD²-DP²=AC²-PC²=AP²，
∴AD²=72，AD=6，
∵EF⊥AD，
∴∠AKF=∠AKE=90°．
∵DA平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠AFE=∠AEF
∴AF=AE
在△AFD和△AED中：

∴△AFD≌△AED，
∴∠AFD=∠AED，DF=DE，
又∵DB=DF，
∴DB=DE=6，
∴∠BFD=∠DEC=∠DBF，
∴180°-∠C-∠DEC=180°-∠C-∠DBF，
∴∠EDC=∠BAC=2∠DAE，
又∵∠EDC=2∠NED，
∴∠DAE=∠NED，
∵∠ADE=∠EDN，
∴△DAE∽△DEN，
∴=，
∴DE²=DN•DA，即6²=DN•6，
∴DN=3．
点评：本题考查了勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确证明△DAE∽△DEN是关键．