Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．

【解析】

试题分析：（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；

（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；

（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．

试题解析：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；

（2）连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；

（3）如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴，∴=ADDE，∵AC=DE，∴设DE=x，则AC=x，则=ADDE，即=ADx，整理得：，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD==2．