Question

如图，抛物线y=﹣x²+x+2与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．
（1）分别求出点A．点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，即﹣x²+ x+2=0；
解得 x₁=﹣ ，x₂=2 ．
∴C（﹣ ，0）、A（2 ，0）．令x=0，即y=2，
∴B（0，2）．综上，A（2 ，0）、B（0，2）．
（2）令AB方程为y=k₁x+2因为点A（2 ，0）在直线上，
∴0=k₁2 +2
∴k₁=﹣ 
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2．
（3）由A（2 ，0）、B（0，2）得：OA=2 ，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°； OD与O点关于AB对称
∴OD=OA=2 
∴D点的横坐标为 ，纵坐标为3，即D（ ，3）．
因为y= 过点D，
∴3= ，
∴k=3 ．
（4）AP=t，AQ= t，P到x轴的距离：AP·sin30°= t，OQ=OA﹣AQ=2 ﹣ t；
∴S△OPQ= ·（2 ﹣ t）· t=﹣ （t﹣2 ）2+ ；
依题意， 得0＜t≤4
∴当t=2 时，S有最大值为 ．