Question

△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D。
（1）如图①，AE⊥BC于E，求证：CD=2AE；

（2）如图②，P是AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF?AB于F，求证：2PE+PF=CD；

（3）在（2）中，若P为AC的延长线上任意一点，其它条件不变，请你在备用图中画出图形，并探究线段PE、PF、CD之间的数量关系。

Answer 1

（1）证明：S△ABC=AB·CD=BC·AE， ∵AB=2，BC=4， ∴×2×CD=×4×AE， 即CD=2AE； （2）证明：如图②，连接PB， 则S△ABC=S△ABP+S△BCP， 即AB·CD=AB·PF+BC·PE， ∵AB=2，BC=4， ∴×2×CD=×2×PF+×4×PE， 即CD=PF+2PE， 故2PE+PF=CD； （3）解：如图③，连接PB， 则S△ABP=S△ABC+S△PBC， 即AB·PF=AB·CD+BC·PE， ∵AB=2，BC=4， ∴×2×PF=×2×CD+×4×PE， 即PF=CD+2PE。