Question

【题目】如图，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3）M1（﹣1，），M2（﹣1，），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）

【解析】试题分析：（1）由直线解析式求出点A及点B的坐标，将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，即可求出抛物线解析式；

（2）由（1）求得的抛物线解析式，求出点C的坐标，从而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；

（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，列方程，求出m的值后即可．

试题解析：（1）∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：；

（2）令y=0得：，解得：，，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6；

（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：分三种情况讨论：

①当MA=AB时，∵OA=1，OB=3，∴AB=，，解得：m=，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，）；

②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去）；

③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．