Question

已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AB上一点，BE=12，F为AC上一点，FC=5，且∠EDF=90°，求EF的长度．

Answer 1

分析：作出图形，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD=CD，然后根据同角的余角相等求出∠BDE=∠ADF，再利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DE=DF，然后求出BD的长，过点E作EG⊥BD于G，然后求出EG、DG，再利用勾股定理列式求出DE的长，在Rt△DEF中，利用勾股定理列式求解EF即可．

解答：解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD，
∴∠BDE+∠ADE=90°，
∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
∵

∠B=∠DAF=45° AD=BD ∠BDE=∠ADF

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴AF=BE，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵BE=12，FC=5，
∴AC=AF+FC=BE+FC=12+5=17，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

×

2

AC=

2

2

×17=

17 2

2

，
过点E作EG⊥BD于G，
则BG=EG=

2

2

×12=6

2

，
GD=

17 2

2

-6

2

=

5 2

2

，
在Rt△DEG中，DE=

EG2+DG2

=

(6 2 )2+( 5 2 2 )2

=

13 2

2

，
故EF=

2

DE=

2

×

13 2

2

=13．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．