Question

如图，弦AB分⊙O成1：3两部分，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），则∠ACB=

45°或135°

°．

Answer 1

分析：本题需要分当点C在优弧和劣弧上时不同的 情况分别讨论求解，由弦AB把⊙O分成1：3的两部分，根据圆弧为360°得到弧AB的度数=

1

4

×360°=90°，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到∠AOB的度数利用圆周角定理和圆的内接四边形定理即可得到∠ACB的度数．

解答：解：∵弦AB把⊙O分成1：3的两部分，
∴弧AB的度数=

1

4

×360°=90°，
∴∠AOB=90°．
①当点C优弧ACB上时，∠ACB=

1

2

∠AOB=45°；
②当点C在劣弧AB上时，利用圆的内接四边形定理：对角互补可得：∠ACB=180°-45°=135°．
故答案为45°或135°．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了圆心角的度数等于它所对的弧的度数以及圆周角定理、圆的内接四边形定理．