题目内容

如图，正方形ABCD的边长为 $数学公式$ ，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是________．

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分析：首先连接DF，由四边形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分别是AB，BC的中点，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根据相似三角形的性质与勾股定理，可求得AN，MN的长，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面积关系，求得△DMN的面积．
解答：

解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=2 $\text{[math]}$ ，
∴△BFN∽△DAN，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵F是BC的中点，
∴BF= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ ，
∴AN=2NF，
∴AN= $\text{[math]}$ AF，
在Rt△ABF中，AF= $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ，
∴cos∠BAF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，
∴AE=BF= $\text{[math]}$ ，
∵∠DAE=∠ABF=90°，
在△ADE与△BAF中，
$\text{[math]}$ ，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠AED=∠AFB，
∴∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°．
∴AM=AE•cos∠BAF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴MN=AN-AM= $\text{[math]}$ AF-AM= $\text{[math]}$ ×5 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
又∵S_△AFD= $\text{[math]}$ AD•CD= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =30，
∴S_△MND= $\text{[math]}$ S_△AFD= $\text{[math]}$ ×30=8．
故答案为：8．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握三角形面积的求解方法，注意辅助线的作法．