Question

光明路新华书店为了提倡人们“多读书，读好书”，每年都要开展分年级免费赠书活动，今年获得免费赠书的前提是：顺利通过书店前的A，B，C三个房间（在每个房间内都有一道题，若能在规定的时间内顺利答对这三道题，就可免费得到赠书），同学们你们想参加吗？快快行动吧！

题目并不难哟，把答案写在下面吧！A房间答题卡：

105°或15°

；B房间答题卡：

2

2

或

13

或

5

；C房间答题卡：

15°或75°

．

Answer 1

分析：A．首先过点A作AD⊥BC，交于点D，得出直角三角形，进而得出∠BAD和∠CAD的度数，利用不同图形得出两个不同答案即可；
B．利用非负数的性质得出x，y的值进而利用两边为直角边或斜边，分别讨论利用勾股定理得出答案即可；
C．利用因式分解法解一元二次方程，进而得出AC，AB的长，进而利用AC，AB位置关系不同得出两种情况．

解答：解：A：如图1，过点A作AD⊥BC，交于点D，
∵在△ABC中，AB=2，AC=

2

，∠B=30°，
∴AD=

1

2

AB=1，
∠BAD=90°-30°=60°，
∴cos∠CAD=

AD

AC

=

1

2

=

2

2

，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAC=60°+45°=105°，
如图2，
同理得出：∠BAD=60°，∠CAD=45°，
∴∠BAC=60°-45°=15°，
故答案为：105°或15°；

B．∵直角三角形两边满足|x²-4|+

y2-5y+6

=0，
∴x²-4=0，y²-5y+6=0，
∴解得：x=2或-2（不合题意舍去），
y=2或3，
∴当两直角边为：2，2，则斜边为：2

2

，
当两直角边为：2，3，则斜边为：

22+32

=

13

，
当斜边为3，一直角边为2，则另一直角边为：

32- 22

=

5

，
故答案为：2

2

或

13

或

5

；

C．∵⊙O的半径为2，弦AC，AB的长是方程x²-（2

2

+2

3

）x+4

6

=0的两根，
∴x²-（2

2

+2

3

）x+4

6

=0，
（x-2

2

）（x-2

3

）=0，
∴解得：x₁=2

2

，x₂=2

3

，
∴设AC=2

3

，AB=2

2

，
过点作OE⊥AC，OF⊥AB，
∴AE=EC=

3

，AF=FB=

2

，
∴cos∠FAO=

AF

AO

=

2

2

，
∴∠FAO=45°，
cos∠EAO=

EA

AO

=

3

2

，
∴∠EAO=30°，
∴∠BAC=∠FAO+∠EAO=30°+45°=75°，
结合图4，同理可得出：
过点作OE⊥AC，OF⊥AB，
∴AE=EC=

3

，AF=FB=

2

，
∴cos∠FAO=

AF

AO

=

2

2

，
∴∠FAO=45°，
cos∠EAO=

EA

AO

=

3

2

，
∴∠EAO=30°，
∴∠BAC=∠FAO-∠EAO=45°-30°=15°，
故答案为：15°或75°．

点评：此题主要考查了非负数的性质以及解直角三角形和垂径定理、一元二次方程解法、勾股定理等知识，利用分类讨论思想得出直线不同位置关系是解题关键．